0 前言

     结合部的动态特性参数是影响机床整机动力学性能的关键因素。根据统计，机床中出现的振动问题有60%以上是源自结合部[1]，因此，结合部动态特性参数分析一直是国内外学术界研究热点。直线导轨已广泛地应用于现代数控机床，围绕其动态参数建模，国内外学者已做了大量的有益工作，其研究方法概括起来有三种:

      ① 试验测试法。该方法主要通过锤击试验分别测定导轨竖直方向和水平方向的传递函数，再根据模态理论识别出两个方向的刚度、阻尼系数，从而获得直线导轨结合部的动力学参数[2-3]。也有学者将直线导轨整体结构离散为若干个子结构或子系统，通过试验测试的方法得到各个子系统的刚度矩阵和阻尼矩阵，再将各个子结构的运动方程综合起来，从而得到整个系统的运动方程和动力学特性[3-5]。② 理论计算法。该方法主要以结合部的基本特性参数为基础，简化结合部模型，求得结合部各处的刚度和阻尼，或者通过有限元分析方法，得到导轨结合部的特性参数[1，6-9]。③ 试验测试与理论计算相结合方法。该方法首先通过试验方法测试导轨结合部的动力学参数，然后再用有限元方法求解，为机床的动态设计提供一种有效的方法[10-13]。然而，上述研究工作存在两方面问题：① 传统直线导轨结合部模型，全部忽略了作为直线导轨必要部件——滚珠丝杠副对结合部动态特性参数的影响，因此，所建立的模型不能很好地描述直线导轨副的动态特性；② 试验测试法需要搭建较为复杂试验装备，而有限元法建模较为繁琐，且依赖于大型商用软件。

     本文以带滚珠丝杠副直线导轨结合部为研究对象，借助于弹性力学中的赫兹接触理论，分析计算直线滚动导轨的线刚度、滚珠丝杠副和角接触滚动轴承的轴向刚度，建立带滚珠丝杠副的机床直线导轨结合部的动力学模型。通过一款带滚珠丝杠副的直线导轨结合部的立式加工中心的整机动态特性分析，验证了提出的结合部动态特性模型的有效性和可行性。

1 结合部动力学建模

     图1 为数控机床典型的直线滚动导轨进给系统的结构示意图，通过滚珠丝杠副和直线导轨副的组合来实现工作台x 方向的进给运动。

      图2 为带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部的动力学模型，结合部的x 向刚度为滚珠丝杠副的轴向刚度，y 向刚度为直线滚动导轨的横向刚度， z 向刚度为直线滚动导轨的垂向刚度，并且每个方向上的刚度值均由四组弹簧等价模拟。因此，只须计算出滚珠丝杠副的轴向刚度、直线滚动导轨的横向刚度和垂向刚度，便可确定结合部的动态特性参数。

     现假设如下所述。

     (1) 忽略表面粗糙度对结合部刚度特性的影响。因为带滚珠丝杠直线导轨结合部的接触副均为高副，在预紧载荷或工作载荷的作用下，其接触区弹性变形量可达到数个微米(一般在2～7 μm 之间)，远远大于滚道或滚珠的表面粗糙度(一般小于0.08μm)[14-15]。因此，在计算接触刚度时，可不考虑表面粗糙度的影响，进而可忽略材料塑性变形的影响。

     (2) 滚珠与滚道接触时只产生弹性变形，并服从Hooke 定理。在正常情况下，带滚珠丝杠直线导轨结合部各接触副变形均在材料弹性范围内，接触点处产生的塑性变形量不超过滚动体直径的万分之一(远小于接触副弹性变形量)[16]。因此，滚珠与滚道接触只考虑弹性变形的假设，在分析带滚珠丝杠副直线导轨结合部刚度时是适宜的。

    1.1 滚珠丝杠副轴向刚度的计算

     滚珠丝杠副的轴向刚度kx 为与滚珠丝杠副相关联的零部件刚度的串联总和[17]，其中以丝杠、螺母组件和支承轴承的轴向刚度影响最大，其他零部件的影响较小，可忽略不计，其动力学模型如图3所示。

     显然，进给丝杠传动系统的轴向刚度kx 可表示为

     式中 kx ——滚珠丝杠副轴向刚度

kS ——丝杠轴向刚度

kN ——螺母组件轴向刚度

kB ——支撑轴承轴向刚度

      1.1.1 丝杠的轴向刚度

     滚珠丝杠轴向刚度的计算，随滚珠丝杠的支承方式不同而存在着差异。限于篇幅，本文只讨论两端固定支承结构方式(图4)，这也是滚珠丝杠副最为常见的一种支承形式，并不失一般性。

     可由材料力学得到其轴向刚度为[18]

     式中 d ——丝杠的螺纹底径

           l ——载荷作用点至右端轴承的距离

           E ——丝杠材料的纵向弹性模量

      当螺母处于丝杠中间位置时，丝杠轴向刚度kS的值为最小，即

      本文以丝杠的最小刚度kSmin 作为其轴向刚度值。

      1.1.2 螺母组件轴向刚度的计算

      螺母组件轴向刚度可由作用在螺母上的轴向载荷除以其轴向变形量求得，即

      假设如下：① 负荷垂直于接触表面，也就是说，接触表面完全光滑，不计及滚珠与滚道面间的摩擦力；② 滚珠与滚道接触面的尺寸与其曲率半径相比是很小的；③ 考虑到滚珠丝杠副的工作转速一般都较低，在分析过程中不考虑滚珠离心力和陀螺力矩的影响；④ 不考虑由于制造误差所产生的影响，即轴向工作载荷均匀地分配给每个滚珠。在以上假设下，螺母组件的轴向变形量完全由滚珠与滚道面的弹性接触变形所引起，可利用赫兹弹性接触理论来进行理论计算。其计算过程主要可分为以下几个步骤。

      滚珠与螺母或丝杠滚道面的法向接触变形量的计算。根据赫兹接触理论，两弹性体由于弹性变形引起的相对位移量(弹性接近量)为

     滚珠与螺母滚道接触点处的4 个主曲率分别为

      当已知τ值便可通过查表得到J 和ma 的值[20]。至此，只要将J、ma 以及Σρ 和p 的值代入式(5)，即可得到δ 的值。

      (2) 单个滚珠轴向变形量的计算。单个滚珠在法向接触压力p 作用下而产生弹性变形如图5 所示，由滚珠法向弹性接触变形所产生的法向弹性位移量

      δp 为

δ p =δ1 +δ 2        (15)

     (3) 单个滚珠法向接触力的计算。双螺母预紧结构(图6)是滚珠丝杠最为常见的预紧方式，其螺母组件轴向刚度的计算方法如下。

      假定滚珠丝杠副中螺母A上每个滚珠给予丝杠滚道面的法向作用力为pA，螺母B 上每个滚珠给予丝杠滚道面的法向作用力为pB，且预紧垫片通过螺母A、B 给予丝杠的预紧法向力为pP。则由丝杠静力平衡可得

Fx − pA z sinα cosφ + pBz sinα cosφ = 0            (17)

      在轴向载荷Fx 作用下，螺母A 相对丝杠所产生的轴向弹性接触变形量δA 应恰好等于螺母B 相对于丝杠所产生的轴向弹性恢复量。

      由力学叠加原理可知，作用于同一物体的合力所产生的变形，应等于各分力在同方向上所产生的变形量之和；又由赫兹接触理论可知，两弹性体的弹性趋近量与其法向压力的2/3 次方成正比的关系，于是有

      当已知Fx 和pP 时，可由式(17)和式(19)联合求解得到pA 和pB 的值。

      得到了单个滚珠的法向接触力后，便可由式 (5)～(16)求得螺母A 相对于丝杠所产生的轴向变形量δA，也即轴向载荷Fx 沿轴向的位移量δN，并最终由式(4)获得螺母组件的轴向刚度kN。

      1.1.3 支承轴承的轴向刚度计算

     试验表明，轴承的变形量占整个传动系统总变形量的50%以上[20]。本文以数控机床常用的一对角接触球轴承，背对背安装的结构为例(图7)，进行轴承刚度计算。之前螺母组件轴向刚度计算的假设条件，仍然适用于轴承轴向刚度的计算，在此不再赘述。与螺母组件轴向刚度的计算过程类似，轴承轴向刚度的计算也可以分为三步。

      (1) 利用式(5)～(14)计算滚珠与内圈或外圈滚道面的法向接触变形量。

      (2) 利用式(15)和式(16)计算单个滚珠的轴向变形量。

      (3) 单个滚珠法向接触力的计算。

      假定各轴承中单个滚珠所受的法向接触力分别为p1、p2、p3 和p4，显然p1= p3，p2= p4。由于轴承预紧而使其单个滚珠承受的法向力为p0。轴承1、2 中滚珠的受力情况与双螺母预紧结构中滚珠的受力情况类似(图6)，而轴承3、4 的受力情况与轴承1、2 的受力情况完全一样，所以由静力平衡条件可得

        2 p1nsinβ − p2nsinβ = Fx                        (20)

      式中 n ——单个轴承中的滚珠数

            β ——轴承中滚珠与滚道面的接触角

       同样由力学叠加原理和赫兹接触理论可得到

      当已知n、β、Fx 和p0 时，可由式(20)和式(21)求得p1 和p2 的值。

      得到了单个滚珠的法向接触力后，由式(5)～ (16)可求得轴承外圈相对于轴承内圈的轴向位移量δB，最后由式(4)求得轴承的轴向刚度kB。

      在运用式(5)～(16)时，应将丝杠的结构参数用轴承内圈的结构参数来替代，而将螺母的结构参数用轴承外圈的结构参数来替代，由于不涉及到滚珠丝杠副中螺纹升角φ 这一概念，须将公式中的φ 值设为零值。

     通过以上的分析，分别得到了滚珠丝杠副中丝杠的轴向刚度kS，螺母组件的轴向刚度kN 和支承轴承的轴向刚度kB，可方便地由式(1)求得整个滚珠丝杠副系统的轴向刚度kx。

      1.2 直线滚动导轨线刚度的计算

      一般数控机床上的直线滚动导轨副都是由两滑轨和四滑块组成，因此只须计算单个滑块的线刚度便可得到整个直线滚动导轨副的刚度。图8为单个直线滚动导轨的结构示意图及动力学模型图。

      以下分别计算单个直线滚动导轨的横向(y 向)刚度和垂向(z 向)刚度。

      1.2.1 垂向刚度的计算

      如图9 所示，当垂向力Fz 作用在滑块上时，各列中单个滚珠的弹性力分别为F1、F2、F3 和F4，其中F1= F2 ，F3 =F4。γ 为滚珠与滚道面之间的接触角。

      由静力平衡条件可以得到

2 (F1 − F3)  msinγ = Fz                (22)

      由力学叠加原理和赫兹接触理论可得到

      式中 m ——单列滚道的接触滚珠数

            F0 ——由预压载荷引起的单个滚珠的法向力

       当已知m、γ 、Fz 和F0 时，可由式(22)、(23)求得F1 和F3 的值。已知单个滚珠所受法向力，参照图5 所示的计算分析方法，便可求得滚珠的变形量，最后得到单个直线滚动轴承的垂向刚度kg，整个直线滚动导轨副由四个同样的导轨单元并联组成，因此总的垂向刚度kz＝4kg。

      值得关注的是，由于直线滚动导轨的结构与滚珠丝杠、滚动轴承不同，滚珠与滚道面接触处的四个主曲率中，ρ22 的值应取零。

      1.2.2 横向刚度的计算

      直线滚动导轨横向(y 向)刚度的计算方法与垂向刚度的计算方法相同，不再赘述。

      通过以上分析计算，得到带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部空间三个相互垂直方向上的静刚度，它们分别是滚珠丝杠副的轴向刚度kx，直线滚动导轨副的横向刚度ky 和垂向刚度kz。这样，便建立带滚珠丝杠副导轨结合部的动态特性参数模型。

2 算例

      2.1 基本参数

      本文以一款立式加工中心为例，将本文建立的带滚珠丝杠副直线滚动导轨模型，应用于加工中心动力学特性分析，验证理论模型的有效性。表1～4列出了带滚珠丝杠的直线滚动导轨副的几何、物理参数。

      2.2 结果与讨论

      2.2.1 工作载荷对刚度的影响

      为揭示工作载荷对结合部刚度特性参数的影响规律，作者运用本文提出的计算方法，分析了结合部三个方向刚度与工作载荷的变化规律。图10所示为结合部x 向刚度与其承受载荷的关系曲线。

      查阅手册，螺母组件的额定动载荷pc=52.7 kN，按照技术要求，工作载荷F 在0.2pc～0.3pc 范围内变化。可以看出，结合部x 向刚度值随着工作载荷的增大而略有上升，上升幅度在7%左右。

      由于直线滚动导轨滚珠与滚道面的接触角为45°，所以结合部z 向接触刚度与工作载荷的关系与y 向相等。

      以上分析揭示了工作载荷对结合部刚度特性参数的影响规律，在工作载荷允许的变化范围内，刚度值的变化量一般为10%左右。

      2.2.2 结合部动态参数应用

      本文研究的立式加工中心为x、y、z 三轴联动机床，带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部，分别位于立柱和铣头、床身和床鞍、床鞍和工作台之间 (图12)。用弹簧单元模拟结合部接触刚度，以静止状态(假定零工作载荷)为对象，经计算，可以得到此结合部x、y、z 三个方向上的刚度值分别是：

      kx=0.419 7 MN/mm，ky=3.512 MN/mm，kz=3.512MN/mm。基于ANSYS 软件，分析机床整机固有频率特性，得到前四阶固有频率分别为85.75 Hz， 102.15 Hz，137.33 Hz，145.44 Hz，其振型如图13所示。

      表5 列出了结合部按照刚性连接简化处理与运用本文理论模型的整机固有频率特性比较。

      可以看出，结合部动态参数的描述是影响机床整机动力学性能的重要因素，特别是对于高阶固有频率特性计算，影响更为明显，因此，研究带滚珠丝杠副直线滚动导轨接触刚度动态模型，对机床整机动态特性分析与设计有重要意义。

3 结论

      (1) 运用赫兹接触理论，分析计算直线滚动导轨的线刚度、滚珠丝杠副和角接触球轴承的轴向刚度，在此基础上，建立了带滚珠丝杠副机床直线导轨结合部的动态刚度特性模型，开发了通用计算软件。

      (2) 以一台立式加工中心为对象，分析计算了结合部三个方向动态刚度随工作载荷的变化规律，揭示了在工作载荷变化范围内，结合部动态刚度的变化值一般小于10%。

      (3) 考虑带滚珠丝杠副的直线导轨结合部动态影响，分析计算了立式加工中心的整机动态特性，说明结合部动态参数是影响机床整机动力学性能的重要因素，特别是对于高阶固有频率影响更为明显。研究表明：带滚珠丝杠副的直线导轨结合部动态参数分析模型，具有物理概念清晰、计算简单等特点。