制造业是一个国家或地区经济发展的重要支柱，其发展水平标志着该国家或地区的经济实力、科技水平、生活水准和国防实力。国际市场的竞争归根到底是各国制造生产能力的竞争。而机床是制造业最基础的设备，对现代制造业而言，制造精度已成为现代制造业的重点、难点。因此，提高机床的加工精度已经成为各国研究的重点内容。主轴部件是机床中的重要部件之一，它是机床的执行件，直接参与切削加工。主轴部件的工作性能对整机性能和加工质量以及机床生产率有着直接影响，是决定机床性能和技术经济指标的重要因素。因此，对主轴部件要有较高的要求。对于数控机床产品而言，其主轴部件要有较宽的转速范围、高精度、高刚度、振动小、变形小、噪声低等，而且要具有良好的抵抗受迫振动和自激振动能力的动态性能［1］。目前，我国数控机床的总体性能与发达国家相比还有一定的差距，其中主轴系统动力学性能差是一个重要的原因，因而，如何提高主轴部件的动态性能，就成了机床制造业中的一个重要研究问题。本文运用有限元分析软件ANSYS 建立了HMC50 型卧式加工中心主轴系统的有限元模型，对其进行模态分析，确定主轴的振动特性即固有频率和振型，判断转速是否远低于主轴的一阶临界转速，为机床主轴部件的优化设计提供指导原则和方法。

      1 模态分析理论

      模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性，即结构的固有频率和振型。计算振动系统的模态参数，是模态分析过程的重要环节，也是其他动力学分析的起点，它为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断及预报以及结构动力特性的优化设计提供了主要依据［2］。

      主轴单元是弹性体，理论上有无穷多阶固有频率和与其对应的振型，按照数值的大小从低阶排列到高阶固有频率。但是一般来说，主轴单元的工作频率不会达到高阶固有频率而发生共振，因此只需研究具有实际意义的前几阶固有频率，特别是一阶固有频率和与其对应的振型。

      多自由度系统的运动微分方程可综合为矩阵形式:

      式中: ［M］、［C］、［K］分别为总体质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;

      { x( t) } 为节点广义位移向量;

      { F( t) } 为作用于系统的广义外加激励力。

      固有频率也称自然频率，只与系统本身的特性( 质量、阻尼和刚度) 有关。模态分析就是求解振动系统的固有频率和对应振型，与外载荷无关，即{ F( t) } = { 0} 时，忽略系统结构阻尼的影响，可得到无阻尼系统的自由振动微分方程:

      式( 2) 所对应的特征方程为:

      式中: ωi

      为系统的第i 阶模态的固有频率; { Qi} 为对应的模态向量。

      式( 3) 是一个关于向量{ Q} 的n 元线性齐次代数方程组，有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，即:

      固有频率与主轴的结构( 悬伸量、跨距、内外径等) 、轴承参数( 预紧力) 和轴上安装的零件等主要因素有关。由于主轴单元是一个复杂的结构，在进行模态分析时若要全部考虑影响因素非常困难。在实际分析时，按照设计要求，可以确定主要影响因素，建立模态分析的简化模型，求解固有频率和对应振型。

      2 主轴系统有限元模型的建立

      有限元模型建立的正确与否关系到以后分析计算准确性和计算成本。建立有限元模型可以采用有限元分析软件直接建立模型，也可以采用其他三维实体造型软件建立部件的三维实体模型，然后通过数据转换调入到有限元分析软件中，进而建立模型。本文采用第一种方法在ANSYS 中直接建立模型。

      为方便在ANSYS 中建模，必须对主轴系统的模型进行适当的简化和修改，其基本原则为:

      ( 1) 在CAD 造型时力求精确，以真实反映结构的静、动态特性;

      ( 2) 忽略模型中的所有小特征，包括倒角、倒圆、小孔以及凸台等;

      ( 3) 对模型中的小锥度、小曲率曲面进行直线化和平面化处理;

      ( 4) 不考虑对整体静、动态特性影响小的零部件结构。

      根据以上原则对该主轴系统进行简化，省略其他不影响分析的部件，如起传动作用的传动带轮、螺母等。轴承用ANSYS 中的单元进行等效，对主轴、轴套也要进行必要的简化，为了加工方便或美观要求而设置的凹槽、凸台、过渡圆角及倒角等，在承载过程中对轴的影响很小，在建模过程一般不予考虑。

      经过这样的简化可以提高计算效率，并且对计算结果精度影响很小。在本主轴系统中，主轴选用SOLID45 单元。SOLID45 单元用于建立三维实体结构模型，单元通过8个节点来定义，每个节点有3 个分别沿着X、Y、Z 方向平移的自由度。此单元具有塑性、蠕变、膨胀应力、钢化、大变形和大应变等功能。

      主轴材料为40Cr钢， 40Cr钢是机械制造业使用最广的钢材之一，经调制后具有良好的综合力学性能，它的切削加工性和淬透性较好，经碳氮共渗和高频淬火后，可作受载荷较大及要求耐磨又不受很大冲击的零件。弹性模量E = 2 × 105 MPa，泊松比μ = 0. 28，密度ρ = 7. 85 × 103 kg /m3。

      轴承单元采用COMBIN14 单元进行模拟［3］，该单元可应用于一维二维或三维空间在纵向扭转的弹性—阻尼效果。当将其考虑为纵向弹簧—阻尼器时，该元素是单轴向受拉力或压缩，每个节点具有x，y和z 三个方向的自由度，不考虑弯曲及扭转。当将其考虑为扭转弹簧—阻尼器时，它每个节点具有3 个自由度: 沿X，Y 和Z 轴的旋转。不考虑弯曲和轴向负载。弹簧—阻尼单元本身不具有质量，质量可以用适当的质量单元等效，如MASS21 单元。

      轴承的径向刚度可以用在其截面内4 个均布的弹簧来表达，如图1 所示。

      每个弹簧都用一个COMBIN14 单元来模拟，在与弹簧相连接的4 个主轴上的节点加上轴向约束，弹簧的另外一端为完全固接，每个弹簧的刚度为相应轴承径向刚度的一半。已知轴向预紧力Fa的前提下，轴承的径向刚度Kr按下式［4］进行计算:

      主轴系统采用体扫掠方法划分网格，先采用自底向上方法建立模型，再旋转扫掠，生成规则均匀的六面体单元。通过以上建模过程，建立的HMC50 型卧式加工中心主轴、主轴系统的有限元模型如图2、图3 所示。

      3 模态分析与计算结果

      计算采用ANSYS12. 0 软件的模态( Modal) 分析模块对主轴组件进行了固有频率和振型的计算，计算中采用Block Lanczos 算法。Block Lanczos 法可以在大多数场合中使用，它是一种功能强大的方法，当需要提取中型到大型模型的大量振型时，这种方法很有效。它经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中，在具有或没有初始截断点时同样有效，还可以很好地处理刚体振型，但需要较高的内存。

      经过ANSYS 运行计算，得到主轴系统前七阶固有频率及振型，见图4 ～ 图10 和表1。其中第一阶固有频率和振型是研究重点，是直接影响主轴系统动态特性的因素。

     从计算结果和振型图可以得到主轴系统的一阶和二阶固有频率，三阶和四阶固有频率分别是Y 方向和Z 方向的一弯，五阶固有频率为扭转，六阶和七阶固有频率分别是Y 方向和Z 方向的二弯。其中一、二阶固有频率相等，而且其振型变现为正交，所以结果可以视为特征值重根，振型相互独立正交。三阶、四阶，六阶、七阶振型和固有频率也是同样重根。

      根据转速和频率的关系［5］:

                                                                n = 60f                            ( 6)

      式中: n———转速( rpm) ; f———频率( Hz) 。

      将主轴的固有频率转化为临界转速，见表2。

      HMC50 型卧式加工中心主轴的最高转速为6 000 r /min，由表2 可以看出其一阶临界转速为12 541. 8 r /min，主轴的最高转速远低于其一阶临界转速。因此该主轴单元结构设计合理，能有效地避开共振区，保证主轴的加工精度。

      4 结论

      本文采用有限元分析方法，运用ANSYS 软件对HMC50 型卧式加工中心主轴系统进行了较精确的建模仿真，其中轴承采用弹簧阻尼单元来模拟，对主轴系统进行了简化，省略了其他不影响分析的部件，从而保证了结果的准确性和可靠性。对主轴系统进行模态分析得到了主轴系统的前七阶固有频率，并计算了主轴的临界转速，该主轴系统的最高转速为6 000 r /min，远低于主轴系统的临界转速，说明主轴的工作转速能有效地避开共振区，保证主轴的加工精度。因此，从上面对主轴部件的动态特性进行分析可知，主轴的设计满足要求。