船用螺旋桨振动特性数值计算与分析
2016-9-23 来源：海军工程大学动力工程学院等 作者：刘强 王永生 董蕾 魏应三
摘 要：为了降低螺旋桨结构振动产生的水下辐射噪声，采用结构有限元耦合流体边界元的虚拟质量法，运用通用有限元软件ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 计算了螺旋桨在空气中和水中的固有频率和振型，分析了流体与结构之间的相互作用对螺旋桨振动特性的影响。研究结果表明：虚拟质量法能够准确计算螺旋桨在水中的固有频率；螺旋桨在水中的固有频率要显著低于空气中的固有频率，且在水中振动位移也比空气中小；无论在空气中还是水中，螺旋桨都存在三类基本的桨叶振型；螺旋桨在空气中和水中的振型存在差异，且随着频率的升高二者差异明显；对于不同阶桨叶振型，固有频率随模态阶数的变化显著，而对于同一阶桨叶振型，这种变化并不明显；对于同一阶桨叶振型而言，随着频率的升高，频率缩减比呈递增趋势，相应的附连水质量依次减小。
关键词：螺旋桨；振动特性；虚拟质量法；附连水质量；模态分析；频率缩减比；有限元
螺旋桨噪声是舰船主要水下辐射噪声源之一，包括螺旋桨流激直发声、螺旋桨空化噪声和螺旋桨叶片振动时所产生的噪声［１］。螺旋桨在水中旋转时，如果湍流的激励频率与螺旋桨自身的固有频率一致时就会出现共振，造成螺旋桨振动幅值剧增，导致螺旋桨噪声增大。因此，研究螺旋桨的振动特性对螺旋桨结构的低噪声设计具有一定的参考价值。
针对这一问题，国内有关螺旋桨模态分析的文献相对较少，而国外学者却开展了广泛的研究工作。Ｃａｒｒｉｖｅａｕ Ｒ 等［２］以复杂的风力涡轮机为研究对象，利用有限元方法对风力涡轮机的叶片进行了模态分析。文献［３］采用理论计算与数值仿真相结合的方法，借助ＡＮＳＹＳ 商业化有限元软件，成功地计算出农用风力发电机叶片的固有频率。Ｐａｒｋ 等［４］采用ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 有限元软件中的虚拟质量法对螺旋桨叶片的振动特性进行了研究，得到了螺旋桨叶片的固有频率，并与实验结果进行比较，鉴别出螺旋桨发生唱音现象时的共振频率。文献［５］采用有限元与边界元相结合的方法，利用ＡＢＡＱＵＳ 有限元软件研究了复合材料螺旋桨在非空化和空化流中的流固耦合问题，分析了流体与结构的相互作用对螺旋桨叶片固有频率的影响。Ｋｉｓｈｏｒｅ 等［６］采用两种不同的有限元求解器计算了不同材料的螺旋桨叶片和桨榖组成的整体模型在空气中的固有频率和振型，阐述了不同材料对螺旋桨振动特性的影响。但是，上述这些文献都没有研究螺旋桨叶片和桨榖组成的整体模型在水中的振动特性。为此，本文以一个两端简支的圆杆作为验证对象，采用结构有限元耦合流体边界元的虚拟质量法计算圆杆结构在水中的固有频率，并与解析解进行比较，从而验证该方法的可行性和准确性。在此基础上，以一个边界条件为自由振动的四叶标准螺旋桨（Ｅ７７９Ａ）为研究对象，利用通用有限元软件ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 计算了螺旋桨在空气中和水中的固有频率和振型，研究了两种不同介质中螺旋桨的固有频率和振型的变化规律。最后，定量分析了流体与结构之间的相互作用对螺旋桨振动特性的影响。
１、虚拟质量法的基本理论
虚拟质量法是ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 中一种有效计算流固耦合问题的方法，其基本原理是通过施加一个附加质量矩阵来实现不可压缩流体对结构的作用。考虑流固耦合作用的结构的振动模态有限元计算方程为
由式（１）可以看出，附加质量矩阵随着流体流动状态的变化而变化，因此结构的振动是流体流动状态的函数。同时，结构的振动是以物面边界的形式对流体的流动产生影响，从而改变流体的流动状态。对于水中结构的振动问题，由于水对结构作用而产生附加刚度通常比结构本身的刚度要小很多［７］，因此可以忽略只考虑水作用于结构而产生的附加质量。
假设流体是各向同性且不可压缩的液体，忽略结构体表面重力的影响，且结构体的运动速度很低，根据流体力学的连续性方程、运动方程和能量方程，采用Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ 方法求解Ｌａｐｌａｃｅ 方程可以得到如下的速度势和压力场的有限元形式解：
式中：Ｐ 为节点压力。
根据牛顿第二定律，力矩阵、质量矩阵和加速度矩阵之间的关系式为
将式（４）和式（５）代入式（６）中得到虚拟质量矩阵为
在获得附加质量之后，就可以通过模态分析计算出结构在水中的固有频率和振型。
２、模态计算方法的验证
２．１ 有限元模型的建立
为了验证采用虚拟质量法计算水下结构固有频率的可行性和准确性，本文以一个两端简支的圆杆为研究对象，计算其在空气中和水中的固有频率和振型。圆杆的结构尺寸与材料参数如下：圆杆的长为２０ ｍ，两端面直径为０．２ ｍ，结构密度为７ ８５０ ｋｇ／ｍ３，弹性模量为２１０ ＧＰａ，泊松比为０．３，阻尼比为０．０５，水的密度为１ ０３０ ｋｇ／ｍ３。采用二阶四面体单元对圆杆进行有限元网格划分，单元尺寸为０．０７ ｍ，共划分１０ ６９４ 个实体单元。为了模拟结构与流体之间的相互作用，需要在结构与流体之间建立流固耦合交界面。对于虚拟质量法而言，该耦合面建立在结构与流体相接触的流体边界上，因此需要在实体单元表面生成一层厚度很小的二维单元。采用三角形单元对流固耦合交界面进行离散，共划分１９ ２４８ 个三角形单元。选取圆杆两端面最下面的节点进行简支约束，其余节点进行径向约束，最终建立了有限元模型。
在有限元模型建立的过程中，耦合面应当是封闭的，且必须具有正体积［８］，即保证耦合面上所有二维单元的法向方向都要指向单元的同一侧。由于流体在圆杆结构的外部，因此圆杆表面的三角形单元的法向方向均朝向存在流体的一侧（见图１）。因此，在有限元模型建立时需要检查二维单元的法向方向，以满足虚拟质量法中对耦合面的设置要求。
图１ 耦合面上单元的法线方向
２．２ 计算结果及分析
在利用ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 软件［９］实现虚拟质量法的过程中，一方面需要修改模型数据卡片ＭＦＬＵＩＤ 和ＥＬＩＳＴ。ＭＦＬＵＩＤ 卡片中定义了不可压缩流体的属性，包括流体的密度、自由液面的高度、流固耦合作用面以及其他边界条件［１０］。ＥＬＩＳＴ 卡片中定义了流固耦合作用面的单元性质，通常单元类型只能是一组三角形单元或者四边形单元。另一方面，需要在求解设置中通过卡片ＭＦＬＵＩＤ＝ＳＩＤ 标识流固耦合分析。通过以上求解参数的设置，采用Ｌａｎｃｚｏｓ 方法进行模态计算，得到简支圆杆在空气中和水中的固有频率和振型分别如表１ 和图２ 所示。表１中圆杆固有频率解析解的表达式为［１ １］
式中：ＥＩ 为抗弯刚度；Ｌ 为圆杆的长度；ｎ 为模态阶数；ｍａ为流体作用于单位长度结构上的附加质量；ｍｂ为单位长度的质量。
表１ 圆杆结构在空气中和水中的固有频率
由表１ 可知，数值计算结果与式（８）的解析解吻合较好，空气中不同阶固有频率的最大相对误差不超过４．８％ ，水中不同阶固有频率的最大相对误差不超过５．１％ ，从而验证了采用虚拟质量法计算水下结构固有频率的可行性和准确性。从表１ 中还可以看出，不同阶固有频率在水中的计算结果都比空气中小。这是由于结构在流体中的振动受到流体作用力的影响，相当于增加了结构自身的质量，从而使固有频率降低。
图２ 给出了圆杆结构在空气中和水中的前两 阶振型。比较图２（ａ）和图２（ｂ）可以发现，无论是在空气中还是在水中，圆杆的模态主要表现为弯曲模态，且振动位移的大小也发生了改变。圆杆在水中的振动位移比在空气中的要小，这也是由于流体对结构的作用引起的。
图２ 圆杆结构在空气中和水中的振型图（前两阶）
３、螺旋桨模态的计算与分析
３．１ 螺旋桨几何及有限元模型
本文以一个四叶标准螺旋桨（Ｅ７７９Ａ）为研究对象，计算了螺旋桨在空气中和水中的固有频率和振型。Ｅ７７９Ａ 桨的直径为０．２２７ ｍ，螺距为０．２５ ｍ，盘面比为６８．９％ ［１２］。根据螺旋桨的几何参数建立其三维几何模型（见图３）。
图３ 螺旋桨的三维几何模型
采用二阶四面体单元对螺旋桨进行有限元网格划分，单元尺寸为０．０１ ｍ，共划分８ ４１０ 个实体单元。同时，在实体单元表面建立一层厚度很小的二维单元作为流固耦合交界面，以此模拟结构与流体之间的相互作用。采用三角形单元对螺旋桨结构表面进行离散，共划分了１８ ２１５ 个三角形单元。在定义流固耦合交界面时，考虑到流体在螺旋桨结构的外部，因此三角形单元的法向方向均向外。螺旋桨结构的材料参数如下：结构密度为７ ８５０ ｋｇ／ｍ３，弹性模量为２１０ ＧＰａ，泊松比为０．３。只考虑螺旋桨处于边界条件为自由振动的情况，最终得到的螺旋桨有限元模型如图４ 所示。
图４ 螺旋桨结构的有限元模型
３．２ 模态计算及结果分析
按照２．２ 节所述的求解参数设置，采用Ｌａｎｃｚｏｓ 方法计算了螺旋桨在空气中和水中的固有频率和振型，结果分别如表２ 和图５ 所示。
在边界条件为自由振动的情况下，螺旋桨的前６ 阶固有频率均为０ Ｈｚ，对应其结构的刚体模态，因此螺旋桨首阶非零固有频率应从第７ 阶开始。由表２ 可知，螺旋桨的不同阶固有频率在水中的计算值要显著小于空气中。这是由于螺旋桨在水中的振动受到流体作用力的影响，使螺旋桨周围水的质量加载到了螺旋桨上，相当于增加了螺旋桨结构的质量，从而降低了固有频率。
从表２ 中还可以看出，螺旋桨的振型按振动方式的不同可以分为三类基本的桨叶振型。第一类桨叶振型主要表现为桨叶在振动而桨榖基本不动，第二类桨叶振型主要表现为桨叶和桨榖一起沿螺旋桨径向方向振动，第三类桨叶振型主要表现为桨叶和桨榖一起沿螺旋桨轴向方向振动。另外，不同的固有频率对应着不同的桨叶振型。第７ 阶至第１０ 阶固有频率对应着螺旋桨的一阶桨叶振型，第１１ 阶至第１８ 阶固有频率对应着螺旋桨的二阶桨叶振型，第１９ 阶和第２０ 阶固有频率对应着螺旋桨的三阶桨叶振型。其中，二阶桨叶振型除了包含三类基本的桨叶振型，还存在着叶片的扭转振动。螺旋桨振型的多样性可能是由于叶片形状的不对称性、叶片沿弦向和径向厚度的不均匀性以及螺距角的存在引起的叶片扭转所造成的，因此螺旋桨具有复杂的振动特性。
表２ 螺旋桨结构在空气中和水中的固有频率和振
图５ 螺旋桨结构在空气中和水中的振型图（一阶桨叶振型）
从图５ 可以看出，螺旋桨在空气中和水中的振型存在差异，不同类桨叶振型的模态次序发生了改变，且振动位移的大小也有显著的变化，即螺旋桨在水中的振动位移比在空气中小。这些变化都是由于流体对结构的作用引起的。
图６ 给出了螺旋桨结构在空气中和水中的固有频率随模态阶数的变化曲线。由图６ 可见，于不同阶桨叶振型，固有频率随模态阶数的变化显著，呈现出阶梯状增长趋势。由于流体与结构之间的相互作用，在水中不同阶桨叶振型固有频率的增长幅度比在空气中小。对于同一阶桨叶振型，固有频率随模态阶数的变化并不明显，呈现出缓慢增长的趋势。这是由于螺旋桨自身结构特性决定的。
图６ 螺旋桨结构在空气中和水中不同阶固有频率的变化曲线
３．３ 流体对螺旋桨振动特性的影响分析
为了定量分析流体与结构之间的相互作用对螺旋桨振动特性的影响，本文以频率缩减比作为描述流体加载效应的物理量，其定义为
式中：ｒ ｆ为频率缩减比；ｆ ｗ为螺旋桨在水中的固有频率；ｆ ａ为螺旋桨在空气中的固有频率。由于水对螺旋桨结构的作用产生的刚度比螺旋桨的结构刚度要小得多，可以忽略不计，因此可以认为螺旋桨的刚度基本不变。根据振动理论，频率与质量的０．５ 次方成反比，结合式（９）可以得到附连水质量的计算公式为
式中：ｍｐ为螺旋桨的等效质量；ｍａ为附连水质量。
在ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 软件中计算得到螺旋桨的等效质量为１．５６ ｋｇ，结合螺旋桨在空气中和水中固有频率的计算结果以及式（９）和式（１０），可以得到不同模态阶数的频率缩减比和附连水质量（见表３）。
由表３ 可知，第７ 阶至第２０ 阶的频率缩减比大约在０．４７ 到０．６５ 之间，呈现出非线性的特点。对于同一阶桨叶振型而言，随着频率的升高，频率缩减比呈递增趋势，说明流体的加载效应随着频率的升高而减弱，这也与附连水质量的计算结果相吻合。从表３ 还可以看出，附连水质量约为螺旋桨自身重量的１．３９～３．５４ 倍，这对螺旋桨的振动特性影响非常大，因此在螺旋桨振动特性分析时，必须考虑流固耦合作用对结构振动的影响。
表３ 频率缩减比和附连水质量计算结果
４、结 论
本文根据虚拟质量法的基本理论，采用通用有限元软件ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ 实现了螺旋桨在空气中和水中的模态计算，分析了流体与结构之间的相互作用对螺旋桨振动特性的影响，得到如下结论。
１）虚拟质量法能够准确计算螺旋桨在水中的固有频率。
２）螺旋桨在水中的固有频率要显著低于空气中的固有频率，且在水中的振动位移也比空气中的要小，这是流体与结构之间相互作用的结果。
３）无论在空气中还是水中，螺旋桨都存在三类基本的桨叶振型，且不同的固有频率对应着不同的桨叶振型。
４）螺旋桨在空气中和水中的振型存在差异，且随着频率的升高二者振型差异明显。
５）对于不同阶桨叶振型，固有频率随模态阶数的变化显著，呈现出阶梯状增长趋势。对于同一阶桨叶振型，固有频率随模态阶数的变化并不明显，呈现出缓慢增长的趋势。
６）对于同一阶桨叶振型而言，随着频率的升高，频率缩减比呈递增趋势，说明流体的加载效应随着频率的升高而减弱，这也与附连水质量减小相吻合。
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